ChatGPTのDeep Research（AI）での出力結果をそのまま掲載しています。ChatGPTのDeep Researchはハルシネーション（誤った情報の生成）が少なくなるよう調整されていますが、あくまで参考程度に読んでください。当記事は検索エンジンに登録していないため、このブログ内限定の記事です。
初心者: AIを理解したくて、代数幾何の教科書を毎日頑張って読んでいるんですよ…。
研究者: えっ、代数幾何ですか？ それはかなり遠回りというか、完全に見当違いですよ。それこそAIと代数幾何学はほとんど全く関係していないんです (AIを学ぶのに必要な最低限の数学の知識は5つだけ!｜shi3z)。
初心者: そうなんですか！？でもAIの本や記事で「ベクトル」だの「テンソル」だのって言葉が出てきますよね？なんだか代数幾何学っぽい専門用語が多いので、てっきり必要かと… (AIを学ぶのに必要な最低限の数学の知識は5つだけ!｜shi3z)。
研究者: 確かにディープラーニングの用語にはベクトルやテンソルなど代数幾何学でも出てくる言葉が登場します (AIを学ぶのに必要な最低限の数学の知識は5つだけ!｜shi3z)。でも言葉が似ているからといって、AI理解のために高度な代数幾何そのものを勉強する必要はありません。実際、AIの実用では代数幾何を用いたような難しい理論の知識は不要だという指摘もあります (人工知能を学ぶつもりで代数幾何学を勉強してしまう可能性はあるよ)。むしろ重要なのは高校～大学教養レベルの基礎的な数学です。例えば現在主流のAIシステムを動かすのに高度な数学はほとんど必要なく、基本的な線形代数や確率論が分かれば十分だと言われています (soft question - To what extent is "advanced mathematics" needed/useful in A.I. research? - Theoretical Computer Science Stack Exchange)。
初心者: そうなんですね…。じゃあ代数幾何を勉強するのは時間の無駄…？
研究者: 無駄とまでは言いませんが、少なくともAIを理解する目的なら代数幾何は優先度が低いです。一部の最先端理論研究では代数幾何の知識が使われることもありますが（例えば統計的学習理論のごく専門的な分野など）、AIの基本原理や実装を理解する上では必要ありません (AIを学ぶのに必要な最低限の数学の知識は5つだけ!｜shi3z)。それよりも、AIの根幹をなす基礎的な数学概念を押さえる方がずっと近道ですよ。
初心者: 基礎的な数学概念…例えばどんなものですか？
研究者: 実は難しいものではなく重要なのは5つだけなんです (AIを学ぶのに必要な最低限の数学の知識は5つだけ!｜shi3z)。あるAI研究者も「AIを学ぶのに必要な数学は5つだけ」と述べているくらいですよ (AIを学ぶのに必要な最低限の数学の知識は5つだけ!｜shi3z)。具体的には次の5つです。
- テンソル（スカラー、ベクトル、行列など）
- テンソルの足し算・掛け算
- Σ（シグマ）とΠ（パイ）の記法
- 微分と偏微分
- 確率・統計
では、それぞれ順番に見ていきましょう。
AI理解に必要な5つの数学概念
1. テンソル（スカラー、ベクトル、行列など）
初心者: まず最初の「テンソル」っていう言葉自体が難しそうです…。全然イメージが湧かなくて。
研究者: 確かに聞き慣れないですよね。「テンソル」とは簡単に言えば数の集まり（配列）のことです。例えば、一つだけ数がある状態をスカラーと呼びますが（例: 7や-3.5など一個の数字）、それもテンソルの一種です。数がずらっと並んだもの、つまり数のリストはベクトル（例: [7, 2, 5] みたいに数字が並んだもの）と呼ばれ、これもテンソルです (Scalar, Vector, Matrix)。さらに数が縦横に並んだ表（行列）はマトリックス（行列）と呼ばれますが、これもテンソルの仲間です (Scalar, Vector, Matrix)。要はスカラー（ただの数）もベクトル（数列）も行列（表）も、みんな「テンソル」という大きなカテゴリに含まれると思ってください (Scalar, Vector, Matrix)。
初心者: スカラーやベクトル、行列は聞いたことがあります。全部ひっくるめてテンソルって言うんですね。
研究者: その通り。コンピュータサイエンスの文脈では配列（array）とも言いますが、数学やAIの文脈ではまとめて「テンソル」と呼ぶことが多いです (Tensors Explained - Data Structures of Deep Learning - deeplizard)。特にディープラーニングでは、入力データも出力も中での計算も全部テンソル（多次元配列）で表現します (Tensors Explained - Data Structures of Deep Learning - deeplizard)。例えば画像データは縦横ピクセルの行列だし、時間系列データはベクトルの並びです。そういった様々な形のデータを扱うので、まとめて「テンソル（多次元の数の集まり）」という概念で統一しているわけです。
初心者: 難しい数式の塊を想像してましたが、要するに「数字の集まり」なら親しみやすいですね。
研究者: そうですね。日常でも、成績表は行列、買い物リストはベクトル、体重や身長はスカラー、と考えれば身近でしょう。テンソル = 数字の集合（0次元がスカラー、1次元がベクトル、2次元が行列、さらに多次元も含む）というイメージでOKです。
2. テンソルの足し算・掛け算
初心者: テンソル同士の足し算・掛け算というのは、具体的に何をするんでしょう？ただ普通に数を計算するだけとは違うんですか？
研究者: 基本的には対応する要素同士を足したり掛けたりする操作です。足し算なら、同じ形のテンソル同士で成分ごとに加えるだけなので直感的ですね。例えばベクトル同士の足し算なら、(1, 2, 3) + (4, 5, 6) = (5, 7, 9)のように、それぞれの位置の数を足すだけです。行列でも同じ位置の要素同士を足します。
初心者: 掛け算はどうなるんですか？まさか要素ごとに掛けるだけではないですよね…。
研究者: 良い質問です。テンソルの掛け算にはいくつかパターンがありますが、代表的なのはドット積（内積）や行列積です。例えばドット積とは2つのベクトルの対応する要素を掛けて全部足し合わせる計算です (How to Multiply Matrices)。具体的には、ベクトル(a, b, c)と(x, y, z)のドット積は a×x + b×y + c×z となります (How to Multiply Matrices)。行列同士の掛け算（行列積）も同様で、一言でいえば「行（横の並び）と列（縦の並び）のドット積」を計算します (How to Multiply Matrices)。ちょっと複雑に聞こえるかもしれませんが、実は身近な計算と同じなんです。
初心者: 身近な計算ですか？どんな場面でしょう…？
研究者: 例えば、お店でパイを売っているとしましょう。アップルパイ、チェリーパイ、ブルーベリーパイの値段がそれぞれ300円、400円、200円で、月曜日にそれぞれ13個・8個・6個売れたとします。この日の売上は、300×13 + 400×8 + 200×6 で計算できますよね。実際に計算すると 3,900 + 3,200 + 1,200 = 8,300 円です。この計算は「(300, 400, 200) と (13, 8, 6) のドット積」になっています (How to Multiply Matrices)。このように、ドット積は「対応する要素を掛けて足し合わせる」操作なので、価格リストと個数リストを掛けて合計する計算そのものなんです。
初心者: なるほど！行列の掛け算って難しそうと思ってましたが、要は重み付けされた足し算をしているんですね。
研究者: そうなんです。ニューラルネットワークでも、各入力に重みを掛けて全部足し合わせるという計算を各層でやっています。これはまさにドット積（行列×ベクトルの行列積）そのものです。要するに「掛けて足す」を大量に繰り返すのがAIの中身です (How to Multiply Matrices)。コンピュータはこの繰り返し計算が得意なので、大規模なテンソルの掛け算（行列積）も高速にやってくれます。難しい行列の数式に見えても、実態はこのような地道な掛け算・足し算の積み重ねなんですよ。
3. Σ（シグマ）と Π（パイ）の記法
初心者: 数式によく出てくるΣやΠの記号も苦手です…。見ると「うっ」となってしまって。
研究者: Σ（シグマ）とΠ（パイ）は、それぞれたくさんの足し算や掛け算をコンパクトに書くための記号です。まずΣはギリシャ文字のS（シグマ）で、Sum（和）を表す記号ですね (Sigma Notation)。「全部足しなさい」という意味だと思ってください (Sigma Notation)。
初心者: Σは足し算の総和ってことですね。
研究者: そうです。例えば、1から4までの数の合計は普通に書けば 1 + 2 + 3 + 4 ですよね。これをΣ記法で表すと、
[ \displaystyle \sum_{n=1}^{4} n = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ]
と書けます (Sigma Notation)。下に「n=1」、上に「4」と添えて「nを1から4まで足し合わせる」という意味になります。
初心者: なるほど、Σの下と上に書いてあるのは「どこからどこまで足すか」なんですね。 (Sigma Notation)
研究者: その通り。ではΠ（パイ）の方は何か想像つきますか？
初心者: Πは…もしかして掛け算版ですか？
研究者: 正解です。Πはギリシャ文字のP（パイ）で、Product（積）を表す記号です (Pi Notation (Product Notation) – MathMaine) (Product Notation (Pi Notation) - Statistics How To)。「全部掛けなさい」という意味ですね (Product Notation (Pi Notation) - Statistics How To)。例えば、1から4までの数の積（掛け算）をΠ記法で書くと、
[ \displaystyle \prod_{n=1}^{4} n = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24 ]
となります。
初心者: ΣやΠって見ただけで尻込みしてましたが、「全部足す」「全部掛ける」だけなら分かりやすいです！
研究者: そうでしょう。実際、ΣやΠのおかげで長い足し算・掛け算をスッキリ表記できるので、数式が簡潔になります (Product Notation (Pi Notation) - Statistics How To)。AIの数式でも、例えば重み付き和を表すのにΣが使われたり、確率を全部掛け合わせる処理にΠが使われたりします。記号に慣れないうちは戸惑うかもしれませんが、「Σ＝総和」「Π＝総乗（そうじょう、全部掛ける）」と頭に入れておけば大丈夫です。
4. 微分と偏微分
初心者: 次は「微分」ですか…。微分って高校の数学で習うと聞きましたけど、難しそうな印象です。
研究者: 微分は変化の割合を見るための操作です (Calculus)。例えば時間とともに位置がどう変わるかを見るのが微分（＝速度）ですし、高さの曲線の傾きを調べるのも微分です。ざっくり言えば「ある瞬間の変化の速さ（傾き）」ですね (Calculus)。
初心者: 傾きですか。坂道の勾配（こうばい）みたいなイメージでしょうか？
研究者: まさにその通り！坂道の傾きが急なら微分の値も大きいし、平坦なら微分は0に近くなります。数式的には、関数の微分係数=グラフの接線の傾き…なんて表現もしますが、本質は「ちょっと変化させたときにどれくらい結果が変わるか」を測ることなんです。
初心者: ふむふむ、一度に変数が一つならそれでいいですが、AIでは要素（変数）も多そうですよね…。
研究者: いい指摘です。AIのモデルにはパラメータ（重み）が何百何千とありますから、一つひとつについて微分を考える必要があります。そこで出てくるのが偏微分です。偏微分は複数の変数を持つ関数について、他の変数は固定したまま特定の変数に関する微分をする操作です (Partial Derivatives)。名前は難しそうですが、要は「他は置いといて、ある一方向での微分をする」ことなんですね (Partial Derivatives)。
初心者: 他を固定して…一つの方向だけ見る、と。
研究者: 例えば関数 f(x, y) があったら、xについての偏微分はyを定数（ただの値）とみなしてx方向の変化を見る (Partial Derivatives)、yについての偏微分はxを定数にしてy方向の変化を見る、という具合です (Partial Derivatives)。これによって「xをほんの少し増やしたらfはどれだけ増えるか」「yを少し増やしたらfはどれだけ増えるか」がそれぞれ分かります。
初心者: なるほど、複数要因がある中で、一個ずつ調べる感じですね。
研究者: その通り。AIの学習（最適化）ではまさに各重みについての偏微分を計算します。モデルの誤差（損失関数）を各パラメータで偏微分して「どの方向にどれだけ調整すれば誤差が減るか（勾配）」を求めるんです。これが勾配降下法（Gradient Descent）による学習の基本原理ですね。要は微分（偏微分）という道具を使って、AIの「誤差が減る方向」を見つけ出し、パラメータを少しずつ更新しているわけです。
初心者: 微分の考え方が、モデルを賢くしていく過程で使われているんですね。
研究者: はい。微分は難しく見えますが、「変化の度合い」だと捉えればイメージしやすいと思います。偏微分も「一個ずつ微分」で怖がることはありません。 (Partial Derivatives)
5. 確率・統計
初心者: 最後は「確率・統計」ですか。これはなんとなくデータ分析とかで重要そうだなという印象はあります。AIにもやっぱり必要なんでしょうか？
研究者: はい、確率と統計はAIの土台と言っても過言ではありません。まず確率ですが、これはある事象が起こる可能性を表す数値です (What is Probability ? Probability is A Tool for Understanding the World | by Ahmad Mizan Nur Haq | Data And Beyond | Medium)。0から1までの値で表現され、0なら「起こらない」、1なら「必ず起こる」を意味します (What is Probability ? Probability is A Tool for Understanding the World | by Ahmad Mizan Nur Haq | Data And Beyond | Medium)。例えばコインを投げて表が出る確率は0.5、6面体のサイコロで6が出る確率は1/6（約0.167）ですね (What is Probability ? Probability is A Tool for Understanding the World | by Ahmad Mizan Nur Haq | Data And Beyond | Medium)。
初心者: 身近な例だと天気予報の「雨が降る確率60%」とかもそうですね。
研究者: ええ、その通りです。次に統計ですが、こちらはデータを収集・分析して傾向を読み解く学問です (Data and Probability - Connected Mathematics Project)。もう少し砕けて言えば、たくさんのデータの中から意味のある情報を引き出すための手法ですね。平均や中央値といった指標を計算したり、データのばらつきを調べたり、グラフ化して可視化したりといったことも統計の一部です。
初心者: 不確実な現象から法則を見つける…まさに科学の基礎みたいな感じでしょうか。
研究者: おっしゃる通りで、統計は不確実性の中から意思決定や推論を行うための土台です (Data and Probability - Connected Mathematics Project)。AIではビッグデータを相手に学習するので、統計的なアプローチが欠かせません。例えば機械学習モデルの評価には統計の知識が必要ですし、モデルが出す予測は「〇〇の確率でクラスA」みたいに確率で解釈されます。またベイズ推定など確率論に基づいたアルゴリズムも多く、AIの内部では確率計算が頻繁に使われています (2.6. Probability and Statistics — Dive into Deep Learning 1.0.3 documentation) (2.6. Probability and Statistics — Dive into Deep Learning 1.0.3 documentation)。
初心者: 確かに、AIが「〇〇と予測します（90%の確率）」みたいに出すのを見たことがあります。
研究者: そうですね。その90%という数字を正しく理解したり、モデルの出力を確率として調整するのも確率論の役割です。要するに、確率はAIにおける「不確実さの言語」であり (2.6. Probability and Statistics — Dive into Deep Learning 1.0.3 documentation)、統計はデータから学ぶための眼鏡なんです (2.6. Probability and Statistics — Dive into Deep Learning 1.0.3 documentation)。この二つのおかげで、AIは大量のデータからパターンを見つけ出し、将来を予測したりできるというわけですね。
まとめ
初心者: いやあ、目からウロコです…。代数幾何に時間を割くより、今教わった5つの基礎に集中する方がAIへの近道なんですね。
研究者: お役に立てて何よりです！まとめると、AIを理解するのに必要なのは線形代数（テンソルとその演算）、シグマ・パイ記法、微分、確率統計といった基礎中の基礎です。これらが分かれば、ニューラルネットワークの仕組みもだいぶスッと頭に入ってくるはずですよ。 (soft question - To what extent is "advanced mathematics" needed/useful in A.I. research? - Theoretical Computer Science Stack Exchange) 逆に代数幾何のような高度な数学は、興味があれば学べば良いですがAI入門の必須ではありません (AIを学ぶのに必要な最低限の数学の知識は5つだけ!｜shi3z)。
初心者: 安心しました…！まずはベクトルや行列の計算あたりから勉強してみます。ありがとうございました！
研究者: ぜひ頑張ってください。最近はネット上に分かりやすい解説も多いので、楽しく学んでいきましょう。応援しています！
参照元
- AIと数学の誤解・必要知識
- shi3z「AIを学ぶのに必要な最低限の数学の知識は5つだけ!」(2023) (AIを学ぶのに必要な最低限の数学の知識は5つだけ!｜shi3z) (AIを学ぶのに必要な最低限の数学の知識は5つだけ!｜shi3z) - AIと代数幾何学は無関係で、必要な数学用語は5つだけと解説
- anlyznews「人工知能を学ぶつもりで代数幾何学を勉強してしまう可能性はあるよ」(2023) (人工知能を学ぶつもりで代数幾何学を勉強してしまう可能性はあるよ) - 深層学習の利用に代数幾何学の知識は不要だと指摘
- Arnab (StackExchange回答)「To what extent is advanced mathematics needed in AI?」(2012) (soft question - To what extent is "advanced mathematics" needed/useful in A.I. research? - Theoretical Computer Science Stack Exchange) - 主流の機械学習には高度な数学は不要で基礎的な線形代数・確率が必要と述べる
- 線形代数（テンソルと演算）
- Math is Fun: Scalars, Vectors and Matrices (Scalar, Vector, Matrix) - スカラー（単一の数）、ベクトル（数のリスト）、行列（数の表）の定義
- deeplizard: Tensors Explained - Data Structures of Deep Learning (Tensors Explained - Data Structures of Deep Learning - deeplizard) (Tensors Explained - Data Structures of Deep Learning - deeplizard) - テンソルは数の配列で、深層学習では入力から出力まで全てテンソルで表現
- Math is Fun: How to Multiply Matrices (How to Multiply Matrices) (How to Multiply Matrices) - ドット積（対応要素の積の総和）による行列の掛け算の説明と、日常の売上計算での例示
- 数学記法（ΣとΠ）
- Math is Fun: Sigma Notation (Sigma Notation) (Sigma Notation) - Σ (シグマ) は「総和」を意味し、下付と上付で範囲を指定して和を表す
- Statistics How To: Product Notation (Pi Notation) (Product Notation (Pi Notation) - Statistics How To) - Π (パイ) は「総乗」を意味し、指定範囲の積を表す記法の説明
- MathMaine: Pi Notation (Product Notation) (Pi Notation (Product Notation) – MathMaine) (Product Notation (Pi Notation) - Statistics How To) - Π記法はΣ記法と同様に繰り返しの積を簡潔に表す方法であり、多くの積をコンパクトに記述可能
- 微分と偏微分（解析学）
- Math is Fun: Calculus - Derivatives (Calculus) - 微分係数は関数の「変化の速さ（傾き）」を表すという基本説明
- Math is Fun: Partial Derivatives (Partial Derivatives) (Partial Derivatives) - 偏微分は複数変数の関数で他の変数を固定して一つの変数について微分する操作の説明
- Dive into Deep Learning: Probability and Statistics (2.6. Probability and Statistics — Dive into Deep Learning 1.0.3 documentation) (2.6. Probability and Statistics — Dive into Deep Learning 1.0.3 documentation) - （※確率統計の章だが）微分を用いた学習（勾配降下法）について背景として触れている部分
- 確率・統計
- Ahmad M. N. Haq (Medium): What is Probability? (What is Probability ? Probability is A Tool for Understanding the World | by Ahmad Mizan Nur Haq | Data And Beyond | Medium) - 確率は0～1の範囲の「ある事象が起こる可能性」を示す数値であるとの解説
- Connected Mathematics Project (MSU): Data and Probability - Statistics (Data and Probability - Connected Mathematics Project) - 統計学はデータの収集・分析・解釈によって不確実性下で意思決定する学問であるとの定義
- Dive into Deep Learning: Probability and Statistics (2.6. Probability and Statistics — Dive into Deep Learning 1.0.3 documentation) (2.6. Probability and Statistics — Dive into Deep Learning 1.0.3 documentation) - 確率は不確実性下での推論の枠組みを提供し、統計はデータから母集団の性質を推論する手法で、機械学習における役割を概説